橢圓曲線的轉換

參考文章: https://en.wikipedia.org/wiki/Montgomery_curve
Montgomery curve(蒙哥馬利曲線) 座標軸(x,y)先用(i,j)表示:
           B*j^2 = i^3 + A*i^2 + i
其中座標(0,0)帶進去可以讓上述等式成立,因此它是該曲線上的一個點.當兩邊都除以 B^3 後:
           (j/B) ^2 = (i/B)^3 +(A/B) * (i/B)^2 + (1/B)^2 * (i/B)
將 j/B 替換成 v 並將 i/B 替換成 u, 就變成縮小版的蒙哥馬利曲線(縮小程度是B * B):
            v^2 = u^3 +(A/B) * v^2 + (1/B)^2 * v
如果再把 u替換成 t - A/3B 就變成縮小再左移版的蒙哥馬利曲線:
            v^2 = (t - A/3B) ^3 + (A/B) * (t-A/3B)^2+ (1/B^2) * (t-A/3B)
            v^2 = [ t^3 - 3*(A/3B) t^2 +3(A/3B)^2*t - (A/3B)^3  ]
                     +           (A/B)* [ t^2 - 2*(A/3B) *t  +(A/3B)^2  ]
                                                     +  [  (1/B)^2 *t  -  A/3(B^3) ]
因j為 A,B 都是常數, 常用的 B = 1 , 就可以更簡化成:
            v^2 = t^3 + 0 + (A^2/3  - 2A^2/3 +1 ) t +(A^3/9 - A^3/27 -A/3)
                   = t^3 + (3-A^2)/3 *t + (2*A^2-9*A)/27 = t^3 + a*t +b
            a = (3-A^2)/3
            b= (2*A^2 - 9*A)/27
因此:
           y^2 = x^3 + a * x + b 是 y^2 =x^3 +A*x^2 + x 的一種變形 
座標變換過程:

(x, y) -> (i/B, j/B) -> (u, v) -> (t-A/3B, v) -> (t, v) -> (x,y)
x , y 軸各放大 B 倍, 等同圖形會縮小 B*B=B^2 倍 --- 變換1
原點右移A/3B, 等同圖形向左平移A/3B --- 變換 2
可見得 y^2 = x^3 + ax + b 其實是蒙哥馬利曲線的一個變種